समाधान {l}{y=-5x+1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-1$$

$$y=6$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 5x थप्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5x घटाउनुहोस्।

$$y=-5x+1$$

-5x+1 लाई y ले अर्को समीकरण 2y+5x=7 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

2 लाई -5x+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-10x+2+5x=7$$

5x मा -10x जोड्नुहोस्

$$-5x+2=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$-5x=5$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

y=-5x+1 मा x लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

-5 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=5+1$$

5 मा 1 जोड्नुहोस्

$$y=6$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=6,x=-1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 5x थप्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=6,x=-1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुबै छेउहरूमा 5x थप्नुहोस्।

$$y+5x=1$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर y+5x=1 बाट 2y+5x=7 घटाउनुहोस्।

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

-5x मा 5x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 5x र -5x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y-2y=1-7$$

-2y मा y जोड्नुहोस्

$$-y=1-7$$

-7 मा 1 जोड्नुहोस्

$$-y=-6$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=6$$

2y+5x=7 मा y लाई 6 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2\times 6+5x=7$$

2 लाई 6 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12+5x=7$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$5x=-5$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=6,x=-1$$