समाधान {l}{x-2y=-6}{6x+8y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 8 y = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y = \frac{19}{10} = 1\frac{9}{10} = 1.9$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-2y=-6$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$x=2y-6$$

-6+2y लाई x ले अर्को समीकरण 6x+8y=2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6\left(2y-6\right)+8y=2$$

6 लाई -6+2y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$12y-36+8y=2$$

8y मा 12y जोड्नुहोस्

$$20y-36=2$$

समीकरणको दुबैतिर 36 जोड्नुहोस्।

$$20y=38$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{19}{10}$$

x=2y-6 मा y लाई \frac{19}{10} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2\times \frac{19}{10}-6$$

2 लाई \frac{19}{10} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{19}{5}-6$$

\frac{19}{5} मा -6 जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{11}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{8-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{8-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{8-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{10}\times 2\\-\frac{3}{10}\left(-6\right)+\frac{1}{20}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{19}{10}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-2y=-6,6x+8y=2$$

x र 6x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+8y=2$$

सरल गर्नुहोस्।

$$6x-12y=-36,6x+8y=2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 6x-12y=-36 बाट 6x+8y=2 घटाउनुहोस्।

$$6x-6x-12y-8y=-36-2$$

-6x मा 6x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 6x र -6x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y-8y=-36-2$$

-8y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-20y=-36-2$$

-2 मा -36 जोड्नुहोस्

$$-20y=-38$$

दुबैतिर -20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{19}{10}$$

6x+8y=2 मा y लाई \frac{19}{10} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$6x+8\times \frac{19}{10}=2$$

8 लाई \frac{19}{10} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+\frac{76}{5}=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{76}{5} घटाउनुहोस्।

$$6x=-\frac{66}{5}$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{11}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{19}{10}$$