समाधान {l}{x=2y}{x-y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 2 y } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=8$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x-2y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x-2y=0,x-y=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x-2y=0$$

समीकरणको दुबैतिर 2y जोड्नुहोस्।

$$x=2y$$

2y लाई x ले अर्को समीकरण x-y=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2y-y=4$$

-y मा 2y जोड्नुहोस्

$$y=4$$

x=2y मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=2\times 4$$

2 लाई 4 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=8,y=4$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x-2y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x-2y=0,x-y=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 4\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=8,y=4$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$x-2y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x-2y=0,x-y=4$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x-2y=0 बाट x-y=4 घटाउनुहोस्।

$$x-x-2y+y=-4$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-2y+y=-4$$

y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-y=-4$$

दुबैतिर -1 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

x-y=4 मा y लाई 4 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-4=4$$

समीकरणको दुबैतिर 4 जोड्नुहोस्।

$$x=8$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=8,y=4$$