समाधान {l}{x+y=20}{2x-y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 20 } \\ { 2 x - y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=15$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=20,2x-y=-5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=20$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+20$$

-y+20 लाई x ले अर्को समीकरण 2x-y=-5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2\left(-y+20\right)-y=-5$$

2 लाई -y+20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-2y+40-y=-5$$

-y मा -2y जोड्नुहोस्

$$-3y+40=-5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 40 घटाउनुहोस्।

$$-3y=-45$$

दुबैतिर -3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=15$$

x=-y+20 मा y लाई 15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-15+20$$

-15 मा 20 जोड्नुहोस्

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=15$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=20,2x-y=-5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 20+\frac{1}{3}\left(-5\right)\\\frac{2}{3}\times 20-\frac{1}{3}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=15$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=20,2x-y=-5$$

x र 2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x+2y=2\times 20,2x-y=-5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2x+2y=40,2x-y=-5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2x+2y=40 बाट 2x-y=-5 घटाउनुहोस्।

$$2x-2x+2y+y=40+5$$

-2x मा 2x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2x र -2x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y+y=40+5$$

y मा 2y जोड्नुहोस्

$$3y=40+5$$

5 मा 40 जोड्नुहोस्

$$3y=45$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=15$$

2x-y=-5 मा y लाई 15 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$2x-15=-5$$

समीकरणको दुबैतिर 15 जोड्नुहोस्।

$$2x=10$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=15$$