समाधान {l}{x+1y=204}{2/3y=3/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 1 y = 204 } \\ { \frac { 2 } { 3 } y = \frac { 3 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=96$$

$$y=108$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। टर्महरूलाई पुन: क्रमागत गर्नुहोस्।

$$x+y=204$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{3}{4}x घटाउनुहोस्।

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=204$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+204$$

-y+204 लाई x ले अर्को समीकरण -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}\left(-y+204\right)+\frac{2}{3}y=0$$

-\frac{3}{4} लाई -y+204 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{3}{4}y-153+\frac{2}{3}y=0$$

\frac{2y}{3} मा \frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{17}{12}y-153=0$$

समीकरणको दुबैतिर 153 जोड्नुहोस्।

$$\frac{17}{12}y=153$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{17}{12} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=108$$

x=-y+204 मा y लाई 108 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-108+204$$

-108 मा 204 जोड्नुहोस्

$$x=96$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=96,y=108$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। टर्महरूलाई पुन: क्रमागत गर्नुहोस्।

$$x+y=204$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{3}{4}x घटाउनुहोस्।

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{3}{4}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&-\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}&\frac{1}{\frac{2}{3}-\left(-\frac{3}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}&-\frac{12}{17}\\\frac{9}{17}&\frac{12}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}204\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{17}\times 204\\\frac{9}{17}\times 204\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}96\\108\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=96,y=108$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। टर्महरूलाई पुन: क्रमागत गर्नुहोस्।

$$x+y=204$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट \frac{3}{4}x घटाउनुहोस्।

$$\frac{2}{3}y-\frac{3}{4}x=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

x र -\frac{3x}{4} लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -\frac{3}{4} ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-\frac{3}{4}\times 204,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153,-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y=-153 बाट -\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

\frac{3x}{4} मा -\frac{3x}{4} जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -\frac{3x}{4} र \frac{3x}{4} राशी रद्द हुन्छन्।

$$-\frac{3}{4}y-\frac{2}{3}y=-153$$

-\frac{2y}{3} मा -\frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$-\frac{17}{12}y=-153$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{17}{12} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=108$$

-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}y=0 मा y लाई 108 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\times 108=0$$

\frac{2}{3} लाई 108 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}x+72=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 72 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{4}x=-72$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=96$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=96,y=108$$