समाधान {l}{u+v=10}{3u-2v=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { u + v = 10 } \\ { 3 u - 2 v = 5 } \end{array} \right.$$

u, v को लागि हल गर्नुहोस्

$$u=5$$

$$v=5$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$u+v=10,3u-2v=5$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको u लाई अलग गरी u का लागि हल गर्नुहोस्।

$$u+v=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट v घटाउनुहोस्।

$$u=-v+10$$

-v+10 लाई u ले अर्को समीकरण 3u-2v=5 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-v+10\right)-2v=5$$

3 लाई -v+10 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3v+30-2v=5$$

-2v मा -3v जोड्नुहोस्

$$-5v+30=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 30 घटाउनुहोस्।

$$-5v=-25$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=5$$

u=-v+10 मा v लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$u=-5+10$$

-5 मा 10 जोड्नुहोस्

$$u=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=5,v=5$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$u+v=10,3u-2v=5$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3}&-\frac{1}{-2-3}\\-\frac{3}{-2-3}&\frac{1}{-2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 5\\\frac{3}{5}\times 10-\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू u र v लाई ता्नुहोस्।

$$u=5,v=5$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$u+v=10,3u-2v=5$$

u र 3u लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3u+3v=3\times 10,3u-2v=5$$

सरल गर्नुहोस्।

$$3u+3v=30,3u-2v=5$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 3u+3v=30 बाट 3u-2v=5 घटाउनुहोस्।

$$3u-3u+3v+2v=30-5$$

-3u मा 3u जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 3u र -3u राशी रद्द हुन्छन्।

$$3v+2v=30-5$$

2v मा 3v जोड्नुहोस्

$$5v=30-5$$

-5 मा 30 जोड्नुहोस्

$$5v=25$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$v=5$$

3u-2v=5 मा v लाई 5 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले u लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3u-2\times 5=5$$

-2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3u-10=5$$

समीकरणको दुबैतिर 10 जोड्नुहोस्।

$$3u=15$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$u=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$u=5,v=5$$