समाधान {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

समीकरणको दुबैतिर by जोड्नुहोस्।

$$ax=by-8$$

दुबैतिर a ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

\frac{1}{a} लाई by-8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

\frac{by-8}{a} लाई x ले अर्को समीकरण bx+ay+1=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

b लाई \frac{by-8}{a} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

ay मा \frac{b^{2}y}{a} जोड्नुहोस्

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

1 मा -\frac{8b}{a} जोड्नुहोस्

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{a-8b}{a} घटाउनुहोस्।

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

दुबैतिर a+\frac{b^{2}}{a} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} मा y लाई \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

\frac{b}{a} लाई \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)} मा -\frac{8}{a} जोड्नुहोस्

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax र bx लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई b ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई a ले गुणन गर्नुहोस्।

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 बाट abx+a^{2}y+a=0 घटाउनुहोस्।

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-bax मा bax जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै bax र -bax राशी रद्द हुन्छन्।

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

-a^{2}y मा -b^{2}y जोड्नुहोस्

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8b-a घटाउनुहोस्।

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

दुबैतिर -b^{2}-a^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

bx+ay+1=0 मा y लाई -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

a लाई -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

1 मा -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} जोड्नुहोस्

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} घटाउनुहोस्।

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

दुबैतिर b ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$