समाधान {l}{9x+2y=62}{4x+4y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 4 y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{44}{7} = 6\frac{2}{7} \approx 6.285714286$$

$$y = \frac{19}{7} = 2\frac{5}{7} \approx 2.714285714$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$9x+2y=62$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$9x=-2y+62$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

\frac{1}{9} लाई -2y+62 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

\frac{-2y+62}{9} लाई x ले अर्को समीकरण 4x+4y=36 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+4y=36$$

4 लाई \frac{-2y+62}{9} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+4y=36$$

4y मा -\frac{8y}{9} जोड्नुहोस्

$$\frac{28}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{248}{9} घटाउनुहोस्।

$$\frac{28}{9}y=\frac{76}{9}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{28}{9} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{19}{7}$$

x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} मा y लाई \frac{19}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{9}\times \frac{19}{7}+\frac{62}{9}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{2}{9} लाई \frac{19}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{38}{63}+\frac{62}{9}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{62}{9} लाई -\frac{38}{63} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{44}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 4-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 4-2\times 4}&\frac{9}{9\times 4-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 62-\frac{1}{14}\times 36\\-\frac{1}{7}\times 62+\frac{9}{28}\times 36\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{44}{7}\\\frac{19}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$9x+2y=62,4x+4y=36$$

9x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 4y=9\times 36$$

सरल गर्नुहोस्।

$$36x+8y=248,36x+36y=324$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 36x+8y=248 बाट 36x+36y=324 घटाउनुहोस्।

$$36x-36x+8y-36y=248-324$$

-36x मा 36x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 36x र -36x राशी रद्द हुन्छन्।

$$8y-36y=248-324$$

-36y मा 8y जोड्नुहोस्

$$-28y=248-324$$

-324 मा 248 जोड्नुहोस्

$$-28y=-76$$

दुबैतिर -28 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{19}{7}$$

4x+4y=36 मा y लाई \frac{19}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x+4\times \frac{19}{7}=36$$

4 लाई \frac{19}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$4x+\frac{76}{7}=36$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{76}{7} घटाउनुहोस्।

$$4x=\frac{176}{7}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{44}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{44}{7},y=\frac{19}{7}$$