समाधान {l}{8k+a=3650}{15k+a=150}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 k + a = 3650 } \\ { 15 k + a = 150 } \end{array} \right.$$

k, a को लागि हल गर्नुहोस्

$$k=-500$$

$$a=7650$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको k लाई अलग गरी k का लागि हल गर्नुहोस्।

$$8k+a=3650$$

समीकरणको दुबैतिरबाट a घटाउनुहोस्।

$$8k=-a+3650$$

दुबैतिर 8 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=\frac{1}{8}\left(-a+3650\right)$$

\frac{1}{8} लाई -a+3650 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}$$

-\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} लाई k ले अर्को समीकरण 15k+a=150 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$15\left(-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4}\right)+a=150$$

15 लाई -\frac{a}{8}+\frac{1825}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{15}{8}a+\frac{27375}{4}+a=150$$

a मा -\frac{15a}{8} जोड्नुहोस्

$$-\frac{7}{8}a+\frac{27375}{4}=150$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{27375}{4} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{7}{8}a=-\frac{26775}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{7}{8} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$a=7650$$

k=-\frac{1}{8}a+\frac{1825}{4} मा a लाई 7650 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले k लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$k=-\frac{1}{8}\times 7650+\frac{1825}{4}$$

-\frac{1}{8} लाई 7650 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=\frac{-3825+1825}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1825}{4} लाई -\frac{3825}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$k=-500$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-500,a=7650$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\15&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8-15}&-\frac{1}{8-15}\\-\frac{15}{8-15}&\frac{8}{8-15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{15}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3650\\150\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 3650+\frac{1}{7}\times 150\\\frac{15}{7}\times 3650-\frac{8}{7}\times 150\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-500\\7650\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू k र a लाई ता्नुहोस्।

$$k=-500,a=7650$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$8k+a=3650,15k+a=150$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8k+a=3650 बाट 15k+a=150 घटाउनुहोस्।

$$8k-15k+a-a=3650-150$$

-a मा a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै a र -a राशी रद्द हुन्छन्।

$$8k-15k=3650-150$$

-15k मा 8k जोड्नुहोस्

$$-7k=3650-150$$

-150 मा 3650 जोड्नुहोस्

$$-7k=3500$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=-500$$

15k+a=150 मा k लाई -500 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$15\left(-500\right)+a=150$$

15 लाई -500 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-7500+a=150$$

समीकरणको दुबैतिर 7500 जोड्नुहोस्।

$$a=7650$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-500,a=7650$$