समाधान {l}{78x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3} \approx -6.666666667$$

$$y=45$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$78x+40y=1280$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 40y घटाउनुहोस्।

$$78x=-40y+1280$$

दुबैतिर 78 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{78} लाई -40y+1280 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

\frac{-20y+640}{39} लाई x ले अर्को समीकरण 120x+80y=2800 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+80y=2800$$

120 लाई \frac{-20y+640}{39} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+80y=2800$$

80y मा -\frac{800y}{13} जोड्नुहोस्

$$\frac{240}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{25600}{13} घटाउनुहोस्।

$$\frac{240}{13}y=\frac{10800}{13}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{240}{13} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=45$$

x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} मा y लाई 45 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{20}{39}\times 45+\frac{640}{39}$$

-\frac{20}{39} लाई 45 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{300}{13}+\frac{640}{39}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{640}{39} लाई -\frac{300}{13} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{78\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 80-40\times 120}&\frac{78}{78\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}&-\frac{1}{36}\\-\frac{1}{12}&\frac{13}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{18}\times 1280-\frac{1}{36}\times 2800\\-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{13}{240}\times 2800\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\\45\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$78x+40y=1280,120x+80y=2800$$

78x र 120x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 120 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 78 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 80y=78\times 2800$$

सरल गर्नुहोस्।

$$9360x+4800y=153600,9360x+6240y=218400$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 9360x+4800y=153600 बाट 9360x+6240y=218400 घटाउनुहोस्।

$$9360x-9360x+4800y-6240y=153600-218400$$

-9360x मा 9360x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 9360x र -9360x राशी रद्द हुन्छन्।

$$4800y-6240y=153600-218400$$

-6240y मा 4800y जोड्नुहोस्

$$-1440y=153600-218400$$

-218400 मा 153600 जोड्नुहोस्

$$-1440y=-64800$$

दुबैतिर -1440 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=45$$

120x+80y=2800 मा y लाई 45 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$120x+80\times 45=2800$$

80 लाई 45 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$120x+3600=2800$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3600 घटाउनुहोस्।

$$120x=-800$$

दुबैतिर 120 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{20}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{20}{3},y=45$$