समाधान {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

k, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$k=-2$$

$$b=160$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$44k+b=72,48k+b=64$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको k लाई अलग गरी k का लागि हल गर्नुहोस्।

$$44k+b=72$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$44k=-b+72$$

दुबैतिर 44 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

\frac{1}{44} लाई -b+72 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

-\frac{b}{44}+\frac{18}{11} लाई k ले अर्को समीकरण 48k+b=64 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

48 लाई -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

b मा -\frac{12b}{11} जोड्नुहोस्

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{864}{11} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

दुबैतिर -11 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$b=160$$

k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11} मा b लाई 160 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले k लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

-\frac{1}{44} लाई 160 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{18}{11} लाई -\frac{40}{11} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$k=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-2,b=160$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$44k+b=72,48k+b=64$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू k र b लाई ता्नुहोस्।

$$k=-2,b=160$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$44k+b=72,48k+b=64$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 44k+b=72 बाट 48k+b=64 घटाउनुहोस्।

$$44k-48k+b-b=72-64$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$44k-48k=72-64$$

-48k मा 44k जोड्नुहोस्

$$-4k=72-64$$

-64 मा 72 जोड्नुहोस्

$$-4k=8$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=-2$$

48k+b=64 मा k लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$48\left(-2\right)+b=64$$

48 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-96+b=64$$

समीकरणको दुबैतिर 96 जोड्नुहोस्।

$$b=160$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-2,b=160$$