समाधान {l}{44=12k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 12 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$k=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$b = \frac{244}{5} = 48\frac{4}{5} = 48.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$12k+b=44$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$82k+b=16$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12k+b=44,82k+b=16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको k लाई अलग गरी k का लागि हल गर्नुहोस्।

$$12k+b=44$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$12k=-b+44$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)$$

\frac{1}{12} लाई -b+44 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}$$

-\frac{b}{12}+\frac{11}{3} लाई k ले अर्को समीकरण 82k+b=16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16$$

82 लाई -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16$$

b मा -\frac{41b}{6} जोड्नुहोस्

$$-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{902}{3} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{35}{6} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=\frac{244}{5}$$

k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3} मा b लाई \frac{244}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले k लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{12} लाई \frac{244}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{3} लाई -\frac{61}{15} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$k=-\frac{2}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$12k+b=44$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$82k+b=16$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$12k+b=44,82k+b=16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू k र b लाई ता्नुहोस्।

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$12k+b=44$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$82k+b=16$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$12k+b=44,82k+b=16$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12k+b=44 बाट 82k+b=16 घटाउनुहोस्।

$$12k-82k+b-b=44-16$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$12k-82k=44-16$$

-82k मा 12k जोड्नुहोस्

$$-70k=44-16$$

-16 मा 44 जोड्नुहोस्

$$-70k=28$$

दुबैतिर -70 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=-\frac{2}{5}$$

82k+b=16 मा k लाई -\frac{2}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$82\left(-\frac{2}{5}\right)+b=16$$

82 लाई -\frac{2}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{164}{5}+b=16$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{164}{5} जोड्नुहोस्।

$$b=\frac{244}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}$$