समाधान {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

k, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$112k+b=44$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$82k+b=16$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$112k+b=44,82k+b=16$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको k लाई अलग गरी k का लागि हल गर्नुहोस्।

$$112k+b=44$$

समीकरणको दुबैतिरबाट b घटाउनुहोस्।

$$112k=-b+44$$

दुबैतिर 112 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

\frac{1}{112} लाई -b+44 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

-\frac{b}{112}+\frac{11}{28} लाई k ले अर्को समीकरण 82k+b=16 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

82 लाई -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

b मा -\frac{41b}{56} जोड्नुहोस्

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{451}{14} घटाउनुहोस्।

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{15}{56} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=-\frac{908}{15}$$

k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28} मा b लाई -\frac{908}{15} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले k लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{1}{112} लाई -\frac{908}{15} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{11}{28} लाई \frac{227}{420} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$k=\frac{14}{15}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$112k+b=44$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$82k+b=16$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$112k+b=44,82k+b=16$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू k र b लाई ता्नुहोस्।

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$112k+b=44$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। साइडहरू बदल्नुहोस् जसले गर्दा सबै चर पदहरू बायाँ साइडमा आउनेछन्।

$$82k+b=16$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$112k+b=44,82k+b=16$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 112k+b=44 बाट 82k+b=16 घटाउनुहोस्।

$$112k-82k+b-b=44-16$$

-b मा b जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै b र -b राशी रद्द हुन्छन्।

$$112k-82k=44-16$$

-82k मा 112k जोड्नुहोस्

$$30k=44-16$$

-16 मा 44 जोड्नुहोस्

$$30k=28$$

दुबैतिर 30 ले भाग गर्नुहोस्।

$$k=\frac{14}{15}$$

82k+b=16 मा k लाई \frac{14}{15} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले b लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

82 लाई \frac{14}{15} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1148}{15} घटाउनुहोस्।

$$b=-\frac{908}{15}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$