समाधान {l}{4x+y=5}{3x+7y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 3 x + 7 y = 10 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=1$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4x+y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$4x=-y+5$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{4} लाई -y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

\frac{-y+5}{4} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+7y=10 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+7y=10$$

3 लाई \frac{-y+5}{4} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{3}{4}y+\frac{15}{4}+7y=10$$

7y मा -\frac{3y}{4} जोड्नुहोस्

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{4}=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{4} घटाउनुहोस्।

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{4}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{25}{4} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=1$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{-1+5}{4}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{4} लाई -\frac{1}{4} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{4\times 7-3}&-\frac{1}{4\times 7-3}\\-\frac{3}{4\times 7-3}&\frac{4}{4\times 7-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}&-\frac{1}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\10\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{25}\times 5-\frac{1}{25}\times 10\\-\frac{3}{25}\times 5+\frac{4}{25}\times 10\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=1,y=1$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4x+y=5,3x+7y=10$$

4x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 4x+3y=3\times 5,4\times 3x+4\times 7y=4\times 10$$

सरल गर्नुहोस्।

$$12x+3y=15,12x+28y=40$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 12x+3y=15 बाट 12x+28y=40 घटाउनुहोस्।

$$12x-12x+3y-28y=15-40$$

-12x मा 12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 12x र -12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$3y-28y=15-40$$

-28y मा 3y जोड्नुहोस्

$$-25y=15-40$$

-40 मा 15 जोड्नुहोस्

$$-25y=-25$$

दुबैतिर -25 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=1$$

3x+7y=10 मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+7=10$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 7 घटाउनुहोस्।

$$3x=3$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1,y=1$$