समाधान {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-2$$

$$y=1$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3 लाई 2x+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5 लाई y-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+3-5y+15=1$$

15 मा 3 जोड्नुहोस्

$$6x-5y+18=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$6x-5y=-17$$

समीकरणको दुबैतिर 5y जोड्नुहोस्।

$$6x=5y-17$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

\frac{1}{6} लाई 5y-17 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

\frac{5y-17}{6} लाई x ले अर्को समीकरण 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

-1 लाई \frac{5y-17}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

1 मा \frac{17}{6} जोड्नुहोस्

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5 लाई \frac{-5y+23}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

-4 लाई 2y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

-8y मा -\frac{25y}{6} जोड्नुहोस्

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

-4 मा \frac{115}{6} जोड्नुहोस्

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{91}{6} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{73}{6} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=1$$

x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6} मा y लाई 1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{5-17}{6}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{17}{6} लाई \frac{5}{6} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-2,y=1$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

यसलाई स्तरीय रूपमा राख्न पहिलो समीकरणलाई सरलीकृत गर्नुहोस्।

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

3 लाई 2x+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

-5 लाई y-3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$6x+3-5y+15=1$$

15 मा 3 जोड्नुहोस्

$$6x-5y+18=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 18 घटाउनुहोस्।

$$6x-5y=-17$$

यसलाई स्तरीय रूपमा राख्न दोस्रो समीकरणलाई सरलीकृत गर्नुहोस्।

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

5 लाई -x+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

-4 लाई 2y+1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-5x+5-8y-4=3$$

-4 मा 5 जोड्नुहोस्

$$-5x-8y+1=3$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$-5x-8y=2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-2,y=1$$