समाधान {l}{200x+300y=360}{300x+200y=340}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 200 x + 300 y = 360 } \\ { 300 x + 200 y = 340 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y=\frac{4}{5}=0.8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$200x+300y=360$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 300y घटाउनुहोस्।

$$200x=-300y+360$$

दुबैतिर 200 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{200}\left(-300y+360\right)$$

\frac{1}{200} लाई -300y+360 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}$$

-\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} लाई x ले अर्को समीकरण 300x+200y=340 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$300\left(-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5}\right)+200y=340$$

300 लाई -\frac{3y}{2}+\frac{9}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-450y+540+200y=340$$

200y मा -450y जोड्नुहोस्

$$-250y+540=340$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 540 घटाउनुहोस्।

$$-250y=-200$$

दुबैतिर -250 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{5}$$

x=-\frac{3}{2}y+\frac{9}{5} मा y लाई \frac{4}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{4}{5}+\frac{9}{5}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{2} लाई \frac{4}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{-6+9}{5}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{9}{5} लाई -\frac{6}{5} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}200&300\\300&200\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{200}{200\times 200-300\times 300}&-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}\\-\frac{300}{200\times 200-300\times 300}&\frac{200}{200\times 200-300\times 300}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}&\frac{3}{500}\\\frac{3}{500}&-\frac{1}{250}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\340\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{250}\times 360+\frac{3}{500}\times 340\\\frac{3}{500}\times 360-\frac{1}{250}\times 340\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$200x+300y=360,300x+200y=340$$

200x र 300x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 300 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 200 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$300\times 200x+300\times 300y=300\times 360,200\times 300x+200\times 200y=200\times 340$$

सरल गर्नुहोस्।

$$60000x+90000y=108000,60000x+40000y=68000$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 60000x+90000y=108000 बाट 60000x+40000y=68000 घटाउनुहोस्।

$$60000x-60000x+90000y-40000y=108000-68000$$

-60000x मा 60000x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 60000x र -60000x राशी रद्द हुन्छन्।

$$90000y-40000y=108000-68000$$

-40000y मा 90000y जोड्नुहोस्

$$50000y=108000-68000$$

-68000 मा 108000 जोड्नुहोस्

$$50000y=40000$$

दुबैतिर 50000 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{4}{5}$$

300x+200y=340 मा y लाई \frac{4}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$300x+200\times \frac{4}{5}=340$$

200 लाई \frac{4}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$300x+160=340$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 160 घटाउनुहोस्।

$$300x=180$$

दुबैतिर 300 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{4}{5}$$