समाधान {l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1.6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1.6 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{57}{35} = 1\frac{22}{35} = 1.6285714285714286$$

$$y=\frac{172}{35}-n$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x+3y=18-n$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$2x=-3y+18-n$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

\frac{1}{2} लाई -3y+18-n पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

-\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} लाई x ले अर्को समीकरण 4x-y=5n+1.6 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1.6$$

4 लाई -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-6y+36-2n-y=5n+1.6$$

-y मा -6y जोड्नुहोस्

$$-7y+36-2n=5n+1.6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 36-2n घटाउनुहोस्।

$$-7y=7n-34.4$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{172}{35}-n$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9 मा y लाई -n+\frac{172}{35} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{2}\left(\frac{172}{35}-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

-\frac{3}{2} लाई -n+\frac{172}{35} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3n}{2}-\frac{258}{35}-\frac{n}{2}+9$$

\frac{3n}{2}-\frac{258}{35} मा 9-\frac{n}{2} जोड्नुहोस्

$$x=n+\frac{57}{35}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1.6\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1.6\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1.6\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{57}{35}\\\frac{172}{35}-n\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1.6$$

2x र 4x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1.6\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+3.2$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 8x+12y=72-4n बाट 8x-2y=10n+3.2 घटाउनुहोस्।

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-3.2$$

-8x मा 8x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 8x र -8x राशी रद्द हुन्छन्।

$$12y+2y=72-4n-10n-3.2$$

2y मा 12y जोड्नुहोस्

$$14y=72-4n-10n-3.2$$

-10n-3.2 मा 72-4n जोड्नुहोस्

$$14y=68.8-14n$$

दुबैतिर 14 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{172}{35}-n$$

4x-y=5n+1.6 मा y लाई \frac{172}{35}-n ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$4x-\left(\frac{172}{35}-n\right)=5n+1.6$$

समीकरणको दुबैतिरबाट -\frac{172}{35}+n घटाउनुहोस्।

$$4x=4n+\frac{228}{35}$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=n+\frac{57}{35}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=n+\frac{57}{35},y=\frac{172}{35}-n$$