समाधान {l}{2m+n=2}{m-n=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m + n = 2 } \\ { m - n = 4 } \end{array} \right.$$

m, n को लागि हल गर्नुहोस्

$$m=2$$

$$n=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2m+n=2,m-n=4$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको m लाई अलग गरी m का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2m+n=2$$

समीकरणको दुबैतिरबाट n घटाउनुहोस्।

$$2m=-n+2$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$m=\frac{1}{2}\left(-n+2\right)$$

\frac{1}{2} लाई -n+2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=-\frac{1}{2}n+1$$

-\frac{n}{2}+1 लाई m ले अर्को समीकरण m-n=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}n+1-n=4$$

-n मा -\frac{n}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{3}{2}n+1=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 1 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{3}{2}n=3$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{3}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$n=-2$$

m=-\frac{1}{2}n+1 मा n लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+1$$

-\frac{1}{2} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$m=1+1$$

1 मा 1 जोड्नुहोस्

$$m=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=2,n=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2m+n=2,m-n=4$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{3}\times 2-\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू m र n लाई ता्नुहोस्।

$$m=2,n=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2m+n=2,m-n=4$$

2m र m लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2m+n=2,2m+2\left(-1\right)n=2\times 4$$

सरल गर्नुहोस्।

$$2m+n=2,2m-2n=8$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 2m+n=2 बाट 2m-2n=8 घटाउनुहोस्।

$$2m-2m+n+2n=2-8$$

-2m मा 2m जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 2m र -2m राशी रद्द हुन्छन्।

$$n+2n=2-8$$

2n मा n जोड्नुहोस्

$$3n=2-8$$

-8 मा 2 जोड्नुहोस्

$$3n=-6$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=-2$$

m-n=4 मा n लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले m लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$m-\left(-2\right)=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2 घटाउनुहोस्।

$$m=2$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$m=2,n=-2$$