समाधान {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

y, x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=2$$

$$y=4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको y लाई अलग गरी y का लागि हल गर्नुहोस्।

$$150y+200x=1000$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 200x घटाउनुहोस्।

$$150y=-200x+1000$$

दुबैतिर 150 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

\frac{1}{150} लाई -200x+1000 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

\frac{-4x+20}{3} लाई y ले अर्को समीकरण 100y+400x=1200 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

100 लाई \frac{-4x+20}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

400x मा -\frac{400x}{3} जोड्नुहोस्

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{2000}{3} घटाउनुहोस्।

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{800}{3} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$x=2$$

y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3} मा x लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

-\frac{4}{3} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{20}{3} लाई -\frac{8}{3} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$y=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=4,x=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू y र x लाई ता्नुहोस्।

$$y=4,x=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

150y र 100y लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 100 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 150 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

सरल गर्नुहोस्।

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 15000y+20000x=100000 बाट 15000y+60000x=180000 घटाउनुहोस्।

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

-15000y मा 15000y जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 15000y र -15000y राशी रद्द हुन्छन्।

$$20000x-60000x=100000-180000$$

-60000x मा 20000x जोड्नुहोस्

$$-40000x=100000-180000$$

-180000 मा 100000 जोड्नुहोस्

$$-40000x=-80000$$

दुबैतिर -40000 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=2$$

100y+400x=1200 मा x लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले y लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$100y+400\times 2=1200$$

400 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$100y+800=1200$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 800 घटाउनुहोस्।

$$100y=400$$

दुबैतिर 100 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=4,x=2$$