समाधान {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-7x-4y=62$$

समीकरणको दुबैतिर 4y जोड्नुहोस्।

$$-7x=4y+62$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

-\frac{1}{7} लाई 4y+62 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

\frac{-4y-62}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+y=-2 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

3 लाई \frac{-4y-62}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

y मा -\frac{12y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{186}{7} जोड्नुहोस्।

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{5}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-\frac{172}{5}$$

x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7} मा y लाई -\frac{172}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{4}{7} लाई -\frac{172}{5} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{62}{7} लाई \frac{688}{35} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=\frac{54}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

-7x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -21x-12y=186 बाट -21x-7y=14 घटाउनुहोस्।

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

21x मा -21x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -21x र 21x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-12y+7y=186-14$$

7y मा -12y जोड्नुहोस्

$$-5y=186-14$$

-14 मा 186 जोड्नुहोस्

$$-5y=172$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{172}{5}$$

3x+y=-2 मा y लाई -\frac{172}{5} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{172}{5} जोड्नुहोस्।

$$3x=\frac{162}{5}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{54}{5}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$