समाधान {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=3$$

$$b=2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-2a-b+8=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 8 घटाउनुहोस्।

$$-2a-b=-8$$

समीकरणको दुबैतिर b जोड्नुहोस्।

$$-2a=b-8$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

-\frac{1}{2} लाई b-8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

-\frac{b}{2}+4 लाई a ले अर्को समीकरण a-2b+1=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

-2b मा -\frac{b}{2} जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

1 मा 4 जोड्नुहोस्

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 5 घटाउनुहोस्।

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{5}{2} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$b=2$$

a=-\frac{1}{2}b+4 मा b लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2} लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-1+4$$

-1 मा 4 जोड्नुहोस्

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=3,b=2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

-2a र a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -2a-b+8=0 बाट -2a+4b-2=0 घटाउनुहोस्।

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

2a मा -2a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -2a र 2a राशी रद्द हुन्छन्।

$$-b-4b+8+2=0$$

-4b मा -b जोड्नुहोस्

$$-5b+8+2=0$$

2 मा 8 जोड्नुहोस्

$$-5b+10=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$-5b=-10$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=2$$

a-2b+1=0 मा b लाई 2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a-2\times 2+1=0$$

-2 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a-4+1=0$$

1 मा -4 जोड्नुहोस्

$$a-3=0$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$a=3$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=3,b=2$$