समाधान {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$12x+y=24$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

समीकरणको दुबैतिर 3y जोड्नुहोस्।

$$2x=3y+24$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

\frac{1}{2} लाई 24+3y पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

\frac{3y}{2}+12 लाई x ले अर्को समीकरण 12x+y=24 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

12 लाई \frac{3y}{2}+12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$18y+144+y=24$$

y मा 18y जोड्नुहोस्

$$19y+144=24$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 144 घटाउनुहोस्।

$$19y=-120$$

दुबैतिर 19 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{120}{19}$$

x=\frac{3}{2}y+12 मा y लाई -\frac{120}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई -\frac{120}{19} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

-\frac{180}{19} मा 12 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{48}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$12x+y=24$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 3,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$2x-3y=24$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबैतिर 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$12x+y=24$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

2x र 12x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 12 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 2 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

सरल गर्नुहोस्।

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 24x-36y=288 बाट 24x+2y=48 घटाउनुहोस्।

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

-24x मा 24x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 24x र -24x राशी रद्द हुन्छन्।

$$-36y-2y=288-48$$

-2y मा -36y जोड्नुहोस्

$$-38y=288-48$$

-48 मा 288 जोड्नुहोस्

$$-38y=240$$

दुबैतिर -38 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{120}{19}$$

12x+y=24 मा y लाई -\frac{120}{19} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{120}{19} जोड्नुहोस्।

$$12x=\frac{576}{19}$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{48}{19}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$