समाधान {l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

प्रतिस्थापन र वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,3 को लघुत्तम समापवर्त्यक 12 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। k लाई x+1 ले गुणा गर्नको लागि वितरणमूलक गुणा प्रयोग गर्नुहोस्।

$$y=kx+k$$

kx+k लाई y ले अर्को समीकरण 3x^{2}+4y^{2}=12 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k वर्ग गर्नुहोस्।

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 लाई k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

4k^{2}x^{2} मा 3x^{2} जोड्नुहोस्

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 3+4k^{2} ले, b लाई 4\times 2kk ले र c लाई 4k^{2}-12 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 लाई 3+4k^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} लाई 4k^{2}-12 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144+144k^{2}-64k^{4} मा 64k^{4} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 लाई 3+4k^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 12\sqrt{k^{2}+1} मा -8k^{2} जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} लाई 6+8k^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -8k^{2} बाट 12\sqrt{k^{2}+1} घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} लाई 6+8k^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} र -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} का दुईवटा समाधानहरु छन्। दुबै समीकरणहरूलाई समाधान गर्ने समीकरण y को लागि सँगैको समाधान पत्ता लगाउन समीकरण y=kx+k मा \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} लाई x ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k लाई \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

अब समीकरण y=kx+k मा x लाई -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र दुबै समीकरणहरूमा मिल्ने y को समाधान निकाल्न हल गर्नुहोस्।

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k लाई -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$