समाधान {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

प्रतिस्थापन र वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

पहिलो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। समीकरणको दुबै तर्फ 4,2 को लघुत्तम समापवर्त्यक 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट my घटाउनुहोस्।

$$x-my=1$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

बराबर चिन्हको बायाँतिर हरेको x लाई अलग गरी x+\left(-m\right)y=1 लाई x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+\left(-m\right)y=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \left(-m\right)y घटाउनुहोस्।

$$x=my+1$$

my+1 लाई x ले अर्को समीकरण 2y^{2}+x^{2}=4 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

my+1 वर्ग गर्नुहोस्।

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

m^{2}y^{2} मा 2y^{2} जोड्नुहोस्

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 4 घटाउनुहोस्।

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 2+1m^{2} ले, b लाई 1\times 1\times 2m ले र c लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

1\times 1\times 2m वर्ग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-4 लाई 2+1m^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

-8-4m^{2} लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+12m^{2} मा 4m^{2} जोड्नुहोस्

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

24+16m^{2} को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

2 लाई 2+1m^{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

अब ± प्लस मानेर y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 2\sqrt{6+4m^{2}} मा -2m जोड्नुहोस्

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m+2\sqrt{6+4m^{2}} लाई 4+2m^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

अब ± माइनस मानेर y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -2m बाट 2\sqrt{6+4m^{2}} घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

-2m-2\sqrt{6+4m^{2}} लाई 4+2m^{2} ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} र -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} का दुईवटा समाधानहरु छन्। दुबै समीकरणहरूलाई समाधान गर्ने समीकरण x को लागि सँगैको समाधान पत्ता लगाउन समीकरण x=my+1 मा \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} लाई y ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

m लाई \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

1 मा m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} जोड्नुहोस्

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

अब समीकरण x=my+1 मा y लाई -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस् र दुबै समीकरणहरूमा मिल्ने x को समाधान निकाल्न हल गर्नुहोस्।

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

m लाई -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

1 मा m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) जोड्नुहोस्

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस् (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$