Løs z-1=z^2+1

$$z - 1 = z ^ { 2 } + 1$$

Løs for z

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}\approx 0,5-1,322875656i$$

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}\approx 0,5+1,322875656i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra z^{2} fra begge sider.

$$z-1-z^{2}=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$z-1-z^{2}-1=0$$

Trekk fra 1 fra -1 for å få -2.

$$z-2-z^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-z^{2}+z-2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 1 for b og -2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 1 og -8.

$$z=\frac{-1±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av -7.

$$z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -1 og i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Del -1+i\sqrt{7} på -2.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{-2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{7} fra -1.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-1}{-2}$$

Del -1-i\sqrt{7} på -2.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2} z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra z^{2} fra begge sider.

$$z-1-z^{2}=1$$

Legg til 1 på begge sider.

$$z-z^{2}=1+1$$

Legg sammen 1 og 1 for å få 2.

$$z-z^{2}=2$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-z^{2}+z=2$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-z^{2}+z}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$z^{2}+\frac{1}{-1}z=\frac{2}{-1}$$

Del 1 på -1.

$$z^{2}-z=\frac{2}{-1}$$

Del 2 på -1.

$$z^{2}-z=-2$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Legg sammen -2 og \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktoriser z^{2}-z+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Forenkle.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2} z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$