Løs z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Løs for z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Erstatt t med z^{3}.

$$t^{2}-t+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -1 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Løs ligningen t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Siden z=t^{3}, oppnås løsningene ved å løse ligningen for hver t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$