Løs z^3+3z^2+4z-8=0

$$z ^ { 3 } + 3 z ^ { 2 } + 4 z - 8 = 0$$

Løs for z

$$z=1$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -8 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$z=1$$

Ifølge faktorteoremet er z-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del z^{3}+3z^{2}+4z-8 på z-1 for å få z^{2}+4z+8. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$z^{2}+4z+8=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 4 med b, og 8 med c i den kvadratiske ligningen.

$$z=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 8}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$z=\frac{-4±\sqrt{-16}}{2}$$

Siden kvadratroten av et negativt tall ikke er definert i det reelle feltet, finnes det ingen løsninger.

$$z\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$z=1$$