Løs z^2-6z+34=0

$$z ^ { 2 } - 6 z + 34 = 0$$

Løs for z

$$z=3+5i$$

$$z=3-5i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -6 for b og 34 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 34}}{2}$$

Kvadrer -6.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 34}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 34.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-136}}{2}$$

Legg sammen 36 og -136.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-100}}{2}$$

Ta kvadratroten av -100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10i}{2}$$

Det motsatte av -6 er 6.

$$z=\frac{6±10i}{2}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{6±10i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 6 og 10i.

$$z=\frac{6+10i}{2}$$

Del 6+10i på 2.

$$z=3+5i$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{6±10i}{2} når ± er minus. Trekk fra 10i fra 6.

$$z=\frac{6-10i}{2}$$

Del 6-10i på 2.

$$z=3-5i$$

Ligningen er nå løst.

$$z=3+5i z=3-5i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Trekk fra 34 fra begge sider av ligningen.

$$z^{2}-6z+34-34=-34$$

Når du trekker fra 34 fra seg selv har du 0 igjen.

$$z^{2}-6z=-34$$

Del -6, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -3. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -3 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-34+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrer -3.

$$z^{2}-6z+9=-34+9$$

Legg sammen -34 og 9.

$$z^{2}-6z+9=-25$$

Faktoriser z^{2}-6z+9. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-3\right)^{2}=-25$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Forenkle.

$$z-3=5i z-3=-5i$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$z=3+5i z=3-5i$$