Løs z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Løs for z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -2i for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kvadrer -2i.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Legg sammen -4 og -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Ta kvadratroten av -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{2i±4i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 2i og 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Del 6i på 2.

$$z=3i$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{2i±4i}{2} når ± er minus. Trekk fra 4i fra 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Del -2i på 2.

$$z=-i$$

Ligningen er nå løst.

$$z=3i z=-i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Divider -2i, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -i. Legg deretter til kvadratet av -i på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Kvadrer -i.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Legg sammen -3 og -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Faktoriser z^{2}-2iz-1. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Forenkle.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Legg til i på begge sider av ligningen.

$$z=3i z=-i$$