Løs z^2+3z-10=0

$$z ^ { 2 } + 3 z - 10 = 0$$

Løs for z

$$z=-5$$

$$z=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor z^{2}+3z-10 å bruke formel z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=-10$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-2 b=5$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(z+a\right)\left(z+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse z-2=0 og z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som z^{2}+az+bz-10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-2 b=5$$

Skriv om z^{2}+3z-10 som \left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right).

$$\left(z^{2}-2z\right)+\left(5z-10\right)$$

Faktor ut z i den første og 5 i den andre gruppen.

$$z\left(z-2\right)+5\left(z-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet z-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(z-2\right)\left(z+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse z-2=0 og z+5=0.

$$z=2 z=-5$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 3 for b og -10 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-10\right)}}{2}$$

Kvadrer 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-10\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -10.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2}$$

Legg sammen 9 og 40.

$$z=\frac{-3±\sqrt{49}}{2}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$z=\frac{-3±7}{2}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-3±7}{2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 7.

$$z=\frac{4}{2}$$

Del 4 på 2.

$$z=2$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{-3±7}{2} når ± er minus. Trekk fra 7 fra -3.

$$z=-\frac{10}{2}$$

Del -10 på 2.

$$z=-5$$

Ligningen er nå løst.

$$z=2 z=-5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$z^{2}+3z-10=0$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$z^{2}+3z-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Når du trekker fra -10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$z^{2}+3z=-\left(-10\right)$$

Trekk fra -10 fra 0.

$$z^{2}+3z=10$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 10 og \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser z^{2}+3z+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$z=2 z=-5$$