Løs y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Løs for y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-3x=2$$

Legg til 3x på begge sider av ligningen.

$$y=3x+2$$

Sett inn 3x+2 for y i den andre formelen, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Multipliser -2 ganger 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Legg sammen -6x og 7x.

$$x-4=8$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$x=12$$

Sett inn 12 for x i y=3x+2. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=3\times 12+2$$

Multipliser 3 ganger 12.

$$y=36+2$$

Legg sammen 2 og 36.

$$y=38$$

Systemet er nå løst.

$$y=38,x=12$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=38,x=12$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

For å gjøre y og -2y lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -2 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Forenkle.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Trekk fra -2y+7x=8 fra -2y+6x=-4 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Legg sammen -2y og 2y. Vilkårene -2y og 2y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$6x-7x=-4-8$$

Legg sammen 6x og -7x.

$$-x=-4-8$$

Legg sammen -4 og -8.

$$-x=-12$$

Del begge sidene på -1.

$$x=12$$

Sett inn 12 for x i -2y+7x=8. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$-2y+7\times 12=8$$

Multipliser 7 ganger 12.

$$-2y+84=8$$

Trekk fra 84 fra begge sider av ligningen.

$$-2y=-76$$

Del begge sidene på -2.

$$y=38$$

Systemet er nå løst.

$$y=38,x=12$$