Løs y^4-2y^2+5=7

$$y ^ { 4 } - 2 y ^ { 2 } + 5 = 7$$

Løs for y (complex solution)

$$y=i\sqrt{\sqrt{3}-1}\approx 0,855599677i$$

$$y=-i\sqrt{\sqrt{3}-1}\approx -0-0,855599677i$$

$$y=-\sqrt{\sqrt{3}+1}\approx -1,65289165$$

$$y=\sqrt{\sqrt{3}+1}\approx 1,65289165$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 7 fra begge sider.

$$y^{4}-2y^{2}+5-7=0$$

Trekk fra 7 fra 5 for å få -2.

$$y^{4}-2y^{2}-2=0$$

Erstatt t med y^{2}.

$$t^{2}-2t-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Løs ligningen t=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=\sqrt{3}+1 t=1-\sqrt{3}$$

Siden y=t^{2}, hentes løsningene ved å evaluere y=±\sqrt{t} for hver t.

$$y=-\sqrt{\sqrt{3}+1} y=\sqrt{\sqrt{3}+1} y=-i\sqrt{-\left(1-\sqrt{3}\right)} y=i\sqrt{-\left(1-\sqrt{3}\right)}$$

Løs for y

$$y=-\sqrt{\sqrt{3}+1}\approx -1,65289165$$

$$y=\sqrt{\sqrt{3}+1}\approx 1,65289165$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra 7 fra begge sider.

$$y^{4}-2y^{2}+5-7=0$$

Trekk fra 7 fra 5 for å få -2.

$$y^{4}-2y^{2}-2=0$$

Erstatt t med y^{2}.

$$t^{2}-2t-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-2\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Løs ligningen t=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=\sqrt{3}+1 t=1-\sqrt{3}$$

Siden y=t^{2}, hentes løsningene ved å evaluere y=±\sqrt{t} for positive t.

$$y=\sqrt{\sqrt{3}+1} y=-\sqrt{\sqrt{3}+1}$$