Løs y^2-28y+192=0

$$y ^ { 2 } - 28 y + 192 = 0$$

Løs for y

$$y=12$$

$$y=16$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor y^{2}-28y+192 å bruke formel y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-28 ab=192$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 192.

$$-1,-192 -2,-96 -3,-64 -4,-48 -6,-32 -8,-24 -12,-16$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-192=-193 -2-96=-98 -3-64=-67 -4-48=-52 -6-32=-38 -8-24=-32 -12-16=-28$$

Løsningen er paret som gir Summer -28.

$$a=-16 b=-12$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(y+a\right)\left(y+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(y-16\right)\left(y-12\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-16=0 og y-12=0.

$$y=16 y=12$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som y^{2}+ay+by+192. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-28 ab=1\times 192=192$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 192.

$$-1,-192 -2,-96 -3,-64 -4,-48 -6,-32 -8,-24 -12,-16$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-192=-193 -2-96=-98 -3-64=-67 -4-48=-52 -6-32=-38 -8-24=-32 -12-16=-28$$

Løsningen er paret som gir Summer -28.

$$a=-16 b=-12$$

Skriv om y^{2}-28y+192 som \left(y^{2}-16y\right)+\left(-12y+192\right).

$$\left(y^{2}-16y\right)+\left(-12y+192\right)$$

Faktor ut y i den første og -12 i den andre gruppen.

$$y\left(y-16\right)-12\left(y-16\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-16 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-16\right)\left(y-12\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-16=0 og y-12=0.

$$y=16 y=12$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$y^{2}-28y+192=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -28 for b og 192 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 192}}{2}$$

Kvadrer -28.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 192}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 192.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-768}}{2}$$

Legg sammen 784 og -768.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ta kvadratroten av 16.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±4}{2}$$

Det motsatte av -28 er 28.

$$y=\frac{28±4}{2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{28±4}{2} når ± er pluss. Legg sammen 28 og 4.

$$y=\frac{32}{2}$$

Del 32 på 2.

$$y=16$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{28±4}{2} når ± er minus. Trekk fra 4 fra 28.

$$y=\frac{24}{2}$$

Del 24 på 2.

$$y=12$$

Ligningen er nå løst.

$$y=16 y=12$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-28y+192=0$$

Trekk fra 192 fra begge sider av ligningen.

$$y^{2}-28y+192-192=-192$$

Når du trekker fra 192 fra seg selv har du 0 igjen.

$$y^{2}-28y=-192$$

Del -28, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -14. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -14 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-28y+\left(-14\right)^{2}=-192+\left(-14\right)^{2}$$

Kvadrer -14.

$$y^{2}-28y+196=-192+196$$

Legg sammen -192 og 196.

$$y^{2}-28y+196=4$$

Faktoriser y^{2}-28y+196. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-14\right)^{2}=4$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-14\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Forenkle.

$$y-14=2 y-14=-2$$

Legg til 14 på begge sider av ligningen.

$$y=16 y=12$$