Løs y^2-17y+30=0

$$y ^ { 2 } - 17 y + 30 = 0$$

Løs for y

$$y=2$$

$$y=15$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere y^{2}-17y+30 ved å bruke formelen y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-17 ab=30$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Løsningen er paret som gir Summer -17.

$$a=-15 b=-2$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(y+a\right)\left(y+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-15=0 og y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som y^{2}+ay+by+30. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-17 ab=1\times 30=30$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 30.

$$-1,-30 -2,-15 -3,-10 -5,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-30=-31 -2-15=-17 -3-10=-13 -5-6=-11$$

Løsningen er paret som gir Summer -17.

$$a=-15 b=-2$$

Skriv om y^{2}-17y+30 som \left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right).

$$\left(y^{2}-15y\right)+\left(-2y+30\right)$$

Faktor ut y i den første og -2 i den andre gruppen.

$$y\left(y-15\right)-2\left(y-15\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-15 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-15\right)\left(y-2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-15=0 og y-2=0.

$$y=15 y=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -17 for b og 30 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 30}}{2}$$

Kvadrer -17.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 30}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 30.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-120}}{2}$$

Legg sammen 289 og -120.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$y=\frac{-\left(-17\right)±13}{2}$$

Det motsatte av -17 er 17.

$$y=\frac{17±13}{2}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{17±13}{2} når ± er pluss. Legg sammen 17 og 13.

$$y=\frac{30}{2}$$

Del 30 på 2.

$$y=15$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{17±13}{2} når ± er minus. Trekk fra 13 fra 17.

$$y=\frac{4}{2}$$

Del 4 på 2.

$$y=2$$

Ligningen er nå løst.

$$y=15 y=2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-17y+30=0$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$y^{2}-17y+30-30=-30$$

Når du trekker fra 30 fra seg selv har du 0 igjen.

$$y^{2}-17y=-30$$

Divider -17, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{17}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{17}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$y^{2}-17y+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{17}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=-30+\frac{289}{4}$$

Legg sammen -30 og \frac{289}{4}.

$$y^{2}-17y+\frac{289}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser y^{2}-17y+\frac{289}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{17}{2}=\frac{13}{2} y-\frac{17}{2}=-\frac{13}{2}$$

Legg til \frac{17}{2} på begge sider av ligningen.

$$y=15 y=2$$