Løs y=x+5;quady=3-x

$$y = x + 5 ; \quad y = 3 - x$$

Løs for y, x

$$x=-1$$

$$y=4$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=5$$

Vurder den andre formelen. Legg til x på begge sider.

$$y+x=3$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-x=5,y+x=3$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-x=5$$

Legg til x på begge sider av ligningen.

$$y=x+5$$

Sett inn x+5 for y i den andre formelen, y+x=3.

$$x+5+x=3$$

Legg sammen x og x.

$$2x+5=3$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$2x=-2$$

Del begge sidene på 2.

$$x=-1$$

Sett inn -1 for x i y=x+5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=-1+5$$

Legg sammen 5 og -1.

$$y=4$$

Systemet er nå løst.

$$y=4,x=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=5$$

Vurder den andre formelen. Legg til x på begge sider.

$$y+x=3$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-x=5,y+x=3$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=4,x=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra x fra begge sider.

$$y-x=5$$

Vurder den andre formelen. Legg til x på begge sider.

$$y+x=3$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-x=5,y+x=3$$

Trekk fra y+x=3 fra y-x=5 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y-x-x=5-3$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-x-x=5-3$$

Legg sammen -x og -x.

$$-2x=5-3$$

Legg sammen 5 og -3.

$$-2x=2$$

Del begge sidene på -2.

$$x=-1$$

Sett inn -1 for x i y+x=3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y-1=3$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$y=4$$

Systemet er nå løst.

$$y=4,x=-1$$