Løs y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Løs for y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=-1$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-2x=-1$$

Legg til 2x på begge sider av ligningen.

$$y=2x-1$$

Sett inn 2x-1 for y i den andre formelen, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Legg sammen 2x og 2x.

$$4x-1=3$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$4x=4$$

Del begge sidene på 4.

$$x=1$$

Sett inn 1 for x i y=2x-1. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=2-1$$

Legg sammen -1 og 2.

$$y=1$$

Systemet er nå løst.

$$y=1,x=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=-1$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=1,x=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=-1$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Trekk fra y+2x=3 fra y-2x=-1 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-2x-2x=-1-3$$

Legg sammen -2x og -2x.

$$-4x=-1-3$$

Legg sammen -1 og -3.

$$-4x=-4$$

Del begge sidene på -4.

$$x=1$$

Sett inn 1 for x i y+2x=3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y+2=3$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$y=1$$

Systemet er nå løst.

$$y=1,x=1$$