Løs y=2x+3quadtext{y}quadx=2y+3

$$y = 2 x + 3 \quad \text { y } \quad x = 2 y + 3$$

Løs for y, x

$$x=-3$$

$$y=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=3$$

Vurder den andre formelen. Trekk fra 2y fra begge sider.

$$x-2y=3$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-2x=3$$

Legg til 2x på begge sider av ligningen.

$$y=2x+3$$

Sett inn 2x+3 for y i den andre formelen, -2y+x=3.

$$-2\left(2x+3\right)+x=3$$

Multipliser -2 ganger 2x+3.

$$-4x-6+x=3$$

Legg sammen -4x og x.

$$-3x-6=3$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$-3x=9$$

Del begge sidene på -3.

$$x=-3$$

Sett inn -3 for x i y=2x+3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=2\left(-3\right)+3$$

Multipliser 2 ganger -3.

$$y=-6+3$$

Legg sammen 3 og -6.

$$y=-3$$

Systemet er nå løst.

$$y=-3,x=-3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=3$$

Vurder den andre formelen. Trekk fra 2y fra begge sider.

$$x-2y=3$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{2}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=-3,x=-3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=3$$

Vurder den andre formelen. Trekk fra 2y fra begge sider.

$$x-2y=3$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-2x=3,-2y+x=3$$

For å gjøre y og -2y lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -2 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$-2y-2\left(-2\right)x=-2\times 3,-2y+x=3$$

Forenkle.

$$-2y+4x=-6,-2y+x=3$$

Trekk fra -2y+x=3 fra -2y+4x=-6 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-2y+2y+4x-x=-6-3$$

Legg sammen -2y og 2y. Vilkårene -2y og 2y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$4x-x=-6-3$$

Legg sammen 4x og -x.

$$3x=-6-3$$

Legg sammen -6 og -3.

$$3x=-9$$

Del begge sidene på 3.

$$x=-3$$

Sett inn -3 for x i -2y+x=3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$-2y-3=3$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$-2y=6$$

Del begge sidene på -2.

$$y=-3$$

Systemet er nå løst.

$$y=-3,x=-3$$