Løs y=-4x-7quadtext{b}y=-x+2

$$y = - 4 x - 7 \quad \text { b } y = - x + 2$$

Løs for y, x

$$x=-3$$

$$y=5$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Legg til 4x på begge sider.

$$y+4x=-7$$

Vurder den andre formelen. Legg til x på begge sider.

$$y+x=2$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y+4x=-7$$

Trekk fra 4x fra begge sider av ligningen.

$$y=-4x-7$$

Sett inn -4x-7 for y i den andre formelen, y+x=2.

$$-4x-7+x=2$$

Legg sammen -4x og x.

$$-3x-7=2$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$-3x=9$$

Del begge sidene på -3.

$$x=-3$$

Sett inn -3 for x i y=-4x-7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=-4\left(-3\right)-7$$

Multipliser -4 ganger -3.

$$y=12-7$$

Legg sammen -7 og 12.

$$y=5$$

Systemet er nå løst.

$$y=5,x=-3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Legg til 4x på begge sider.

$$y+4x=-7$$

Vurder den andre formelen. Legg til x på begge sider.

$$y+x=2$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4}&-\frac{4}{1-4}\\-\frac{1}{1-4}&\frac{1}{1-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-7\right)+\frac{4}{3}\times 2\\\frac{1}{3}\left(-7\right)-\frac{1}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=5,x=-3$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Legg til 4x på begge sider.

$$y+4x=-7$$

Vurder den andre formelen. Legg til x på begge sider.

$$y+x=2$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y+4x=-7,y+x=2$$

Trekk fra y+x=2 fra y+4x=-7 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y+4x-x=-7-2$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$4x-x=-7-2$$

Legg sammen 4x og -x.

$$3x=-7-2$$

Legg sammen -7 og -2.

$$3x=-9$$

Del begge sidene på 3.

$$x=-3$$

Sett inn -3 for x i y+x=2. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y-3=2$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$y=5$$

Systemet er nå løst.

$$y=5,x=-3$$