Løs y=-3/2x;quady=-2-1/2x

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

Løs for y, x

$$x=2$$

$$y=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Legg til \frac{3}{2}x på begge sider.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til \frac{1}{2}x på begge sider.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Trekk fra \frac{3x}{2} fra begge sider av ligningen.

$$y=-\frac{3}{2}x$$

Sett inn -\frac{3x}{2} for y i den andre formelen, y+\frac{1}{2}x=-2.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

Legg sammen -\frac{3x}{2} og \frac{x}{2}.

$$-x=-2$$

Del begge sidene på -1.

$$x=2$$

Sett inn 2 for x i y=-\frac{3}{2}x. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

Multipliser -\frac{3}{2} ganger 2.

$$y=-3$$

Systemet er nå løst.

$$y=-3,x=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Legg til \frac{3}{2}x på begge sider.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til \frac{1}{2}x på begge sider.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=-3,x=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Legg til \frac{3}{2}x på begge sider.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til \frac{1}{2}x på begge sider.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Trekk fra y+\frac{1}{2}x=-2 fra y+\frac{3}{2}x=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Legg sammen \frac{3x}{2} og -\frac{x}{2}.

$$x=2$$

Sett inn 2 for x i y+\frac{1}{2}x=-2. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

Multipliser \frac{1}{2} ganger 2.

$$y+1=-2$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$y=-3$$

Systemet er nå løst.

$$y=-3,x=2$$