Løs y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Løs for y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{4}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Vurder den andre formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=8$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Legg til \frac{4x}{3} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Sett inn \frac{-28+4x}{3} for y i den andre formelen, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Legg sammen \frac{4x}{3} og -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Legg til \frac{28}{3} på begge sider av ligningen.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Del begge sidene av ligningen på -\frac{2}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$x=-26$$

Sett inn -26 for x i y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Multipliser \frac{4}{3} ganger -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Legg sammen -\frac{28}{3} og -\frac{104}{3} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y=-44$$

Systemet er nå løst.

$$y=-44,x=-26$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{4}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Vurder den andre formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=8$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=-44,x=-26$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{4}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Vurder den andre formelen. Trekk fra 2x fra begge sider.

$$y-2x=8$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Trekk fra y-2x=8 fra y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Legg sammen -\frac{4x}{3} og 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Legg sammen -\frac{28}{3} og -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{2}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$x=-26$$

Sett inn -26 for x i y-2x=8. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Multipliser -2 ganger -26.

$$y+52=8$$

Trekk fra 52 fra begge sider av ligningen.

$$y=-44$$

Systemet er nå løst.

$$y=-44,x=-26$$