Løs y=1/3xquadtext{26}y=-5x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x \quad \text { 26 } y = - 5 x$$

Løs for y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til 5x på begge sider.

$$y+5x=0$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+5x=0$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Legg til \frac{x}{3} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Sett inn \frac{x}{3} for y i den andre formelen, y+5x=0.

$$\frac{1}{3}x+5x=0$$

Legg sammen \frac{x}{3} og 5x.

$$\frac{16}{3}x=0$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{16}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$x=0$$

Sett inn 0 for x i y=\frac{1}{3}x. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=0$$

Systemet er nå løst.

$$y=0,x=0$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til 5x på begge sider.

$$y+5x=0$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+5x=0$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{5-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}&\frac{1}{16}\\-\frac{3}{16}&\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=0,x=0$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til 5x på begge sider.

$$y+5x=0$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+5x=0$$

Trekk fra y+5x=0 fra y-\frac{1}{3}x=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y-\frac{1}{3}x-5x=0$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-\frac{1}{3}x-5x=0$$

Legg sammen -\frac{x}{3} og -5x.

$$-\frac{16}{3}x=0$$

Del begge sidene av ligningen på -\frac{16}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$x=0$$

Sett inn 0 for x i y+5x=0. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=0$$

Systemet er nå løst.

$$y=0,x=0$$