Løs y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Løs for y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til 3x på begge sider.

$$y+3x=60$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Velg én av ligningene, og løs den for y ved å isolere y på venstre side av likhetstegnet.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Legg til \frac{x}{3} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Sett inn \frac{x}{3} for y i den andre formelen, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Legg sammen \frac{x}{3} og 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{10}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$x=18$$

Sett inn 18 for x i y=\frac{1}{3}x. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger 18.

$$y=6$$

Systemet er nå løst.

$$y=6,x=18$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til 3x på begge sider.

$$y+3x=60$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene y og x.

$$y=6,x=18$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra \frac{1}{3}x fra begge sider.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Vurder den andre formelen. Legg til 3x på begge sider.

$$y+3x=60$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Trekk fra y+3x=60 fra y-\frac{1}{3}x=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Legg sammen y og -y. Vilkårene y og -y eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Legg sammen -\frac{x}{3} og -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Del begge sidene av ligningen på -\frac{10}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$x=18$$

Sett inn 18 for x i y+3x=60. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse y direkte.

$$y+3\times 18=60$$

Multipliser 3 ganger 18.

$$y+54=60$$

Trekk fra 54 fra begge sider av ligningen.

$$y=6$$

Systemet er nå løst.

$$y=6,x=18$$