Løs x=(2x-3)*(2x+3)/4x^2-16x+15

$$x= \frac{ (2x-3) \times (2x+3) }{ 4 { x }^{ 2 } -16x+15 }$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 7}{4} \approx 3,886000936$$

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}\approx -0,386000936$$

Løsningstrinn

Vurder \left(2x-3\right)\left(2x+3\right). Multiplikasjon kan forvandles til differansen av kvadratene ved hjelp av regelen: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrer 3.

$$x=\frac{\left(2x\right)^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Utvid \left(2x\right)^{2}.

$$x=\frac{2^{2}x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Regn ut 2 opphøyd i 2 og få 4.

$$x=\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}$$

Trekk fra \frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15} fra begge sider.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{4x^{2}-16x+15}=0$$

Faktoriser 4x^{2}-16x+15.

$$x-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Hvis du vil legge til eller trekke fra uttrykk, kan du utvide dem for å gjøre nevnerne like. Multipliser x ganger \frac{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}-\frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Siden \frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} og \frac{4x^{2}-9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)} har samme nevner, kan du subtrahere dem ved å subtrahere tellerne.

$$\frac{x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right)}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Utfør multiplikasjonene i x\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)-\left(4x^{2}-9\right).

$$\frac{4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Kombiner like ledd i 4x^{3}-6x^{2}-10x^{2}+15x-4x^{2}+9.

$$\frac{4x^{3}-20x^{2}+15x+9}{\left(2x-5\right)\left(2x-3\right)}=0$$

Variabelen x kan ikke være lik noen av verdiene \frac{3}{2},\frac{5}{2} siden divisjon med null ikke er definert. Multipliser begge sider av ligningen med \left(2x-5\right)\left(2x-3\right).

$$4x^{3}-20x^{2}+15x+9=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 9 og q dividerer den ledende koeffisienten 4. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 4x^{3}-20x^{2}+15x+9 på 2\left(x-\frac{3}{2}\right)=2x-3 for å få 2x^{2}-7x-3. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$2x^{2}-7x-3=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 2 med a, -7 med b, og -3 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{7±\sqrt{73}}{4}$$

Løs ligningen 2x^{2}-7x-3=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Fjern verdiene som variabelen ikke kan være lik.

$$x\in \emptyset$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4} x=\frac{\sqrt{73}+7}{4}$$

Variabelen x kan ikke være lik \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{73}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{73}}{4}$$