Løs x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Løs for x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x-y=5$$

Legg til y på begge sider av ligningen.

$$x=y+5$$

Sett inn y+5 for x i den andre formelen, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Multipliser -4 ganger y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Legg sammen -4y og 5y.

$$y-20=7$$

Legg til 20 på begge sider av ligningen.

$$y=27$$

Sett inn 27 for y i x=y+5. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=27+5$$

Legg sammen 5 og 27.

$$x=32$$

Systemet er nå løst.

$$x=32,y=27$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=32,y=27$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

For å gjøre x og -4x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -4 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Forenkle.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Trekk fra -4x+5y=7 fra -4x+4y=-20 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Legg sammen -4x og 4x. Vilkårene -4x og 4x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$4y-5y=-20-7$$

Legg sammen 4y og -5y.

$$-y=-20-7$$

Legg sammen -20 og -7.

$$-y=-27$$

Del begge sidene på -1.

$$y=27$$

Sett inn 27 for y i -4x+5y=7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$-4x+5\times 27=7$$

Multipliser 5 ganger 27.

$$-4x+135=7$$

Trekk fra 135 fra begge sider av ligningen.

$$-4x=-128$$

Del begge sidene på -4.

$$x=32$$

Systemet er nå løst.

$$x=32,y=27$$