Løs x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Løs for x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x-3y=7$$

Legg til 3y på begge sider av ligningen.

$$x=3y+7$$

Sett inn 3y+7 for x i den andre formelen, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Multipliser 3 ganger 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Legg sammen 9y og 3y.

$$12y+21=9$$

Trekk fra 21 fra begge sider av ligningen.

$$12y=-12$$

Del begge sidene på 12.

$$y=-1$$

Sett inn -1 for y i x=3y+7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Multipliser 3 ganger -1.

$$x=-3+7$$

Legg sammen 7 og -3.

$$x=4$$

Systemet er nå løst.

$$x=4,y=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=4,y=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

For å gjøre x og 3x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 3 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Forenkle.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Trekk fra 3x+3y=9 fra 3x-9y=21 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Legg sammen 3x og -3x. Vilkårene 3x og -3x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-9y-3y=21-9$$

Legg sammen -9y og -3y.

$$-12y=21-9$$

Legg sammen 21 og -9.

$$-12y=12$$

Del begge sidene på -12.

$$y=-1$$

Sett inn -1 for y i 3x+3y=9. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Multipliser 3 ganger -1.

$$3x-3=9$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$3x=12$$

Del begge sidene på 3.

$$x=4$$

Systemet er nå løst.

$$x=4,y=-1$$