Løs x-2y=1quadtext{and}x+y=7

$$x - 2 y = 1 \quad \text { and } x + y = 7$$

Løs for x, y

$$x=5$$

$$y=2$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x-2y=1,x+y=7$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x-2y=1$$

Legg til 2y på begge sider av ligningen.

$$x=2y+1$$

Sett inn 2y+1 for x i den andre formelen, x+y=7.

$$2y+1+y=7$$

Legg sammen 2y og y.

$$3y+1=7$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$3y=6$$

Del begge sidene på 3.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i x=2y+1. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=2\times 2+1$$

Multipliser 2 ganger 2.

$$x=4+1$$

Legg sammen 1 og 4.

$$x=5$$

Systemet er nå løst.

$$x=5,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x-2y=1,x+y=7$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=5,y=2$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x-2y=1,x+y=7$$

Trekk fra x+y=7 fra x-2y=1 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$x-x-2y-y=1-7$$

Legg sammen x og -x. Vilkårene x og -x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-2y-y=1-7$$

Legg sammen -2y og -y.

$$-3y=1-7$$

Legg sammen 1 og -7.

$$-3y=-6$$

Del begge sidene på -3.

$$y=2$$

Sett inn 2 for y i x+y=7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x+2=7$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$x=5$$

Systemet er nå løst.

$$x=5,y=2$$