Løs x(2x+1)-(x-1)^2/2=3

$$x ( 2 x + 1 ) - \frac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } = 3$$

Løs for x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Multipliser begge sider av ligningen med 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Du finner den motsatte av x^{2}-2x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Kombiner 2x og 2x for å få 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Trekk fra 6 fra begge sider.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Trekk fra 6 fra -1 for å få -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-7. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=3\left(-7\right)=-21$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -21.

$$-1,21 -3,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Løsningen er paret som gir Summer 4.

$$a=-3 b=7$$

Skriv om 3x^{2}+4x-7 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(7x-7\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(3x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 3x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliser begge sider av ligningen med 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Du finner den motsatte av x^{2}-2x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Kombiner 2x og 2x for å få 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Trekk fra 6 fra begge sider.

$$3x^{2}+4x-1-6=0$$

Trekk fra 6 fra -1 for å få -7.

$$3x^{2}+4x-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 4 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\times 3}$$

Legg sammen 16 og 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-4±10}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±10}{6} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 10.

$$x=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±10}{6} når ± er minus. Trekk fra 10 fra -4.

$$x=-\frac{14}{6}$$

Forkort brøken \frac{-14}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Multipliser begge sider av ligningen med 2.

$$2x\left(2x+1\right)-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med 2x+1.

$$4x^{2}+2x-\left(x-1\right)^{2}=6$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+2x-\left(x^{2}-2x+1\right)=6$$

Du finner den motsatte av x^{2}-2x+1 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$4x^{2}+2x-x^{2}+2x-1=6$$

Kombiner 4x^{2} og -x^{2} for å få 3x^{2}.

$$3x^{2}+2x+2x-1=6$$

Kombiner 2x og 2x for å få 4x.

$$3x^{2}+4x-1=6$$

Legg til 1 på begge sider.

$$3x^{2}+4x=6+1$$

Legg sammen 6 og 1 for å få 7.

$$3x^{2}+4x=7$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{7}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{7}{3}$$

Del \frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{3}+\frac{4}{9}$$

Legg sammen \frac{7}{3} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{25}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{5}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{5}{3}$$

Trekk fra \frac{2}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{7}{3}$$