Løs x^5+5x^4+7x^3-x^2-8x-4

$$x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } + 7 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } - 8 x - 4$$

Faktoriser

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Hvis du vil faktorisere uttrykket, må du løse ligningen der den er lik 0.

$$x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -4 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{5}+5x^{4}+7x^{3}-x^{2}-8x-4 på x-1 for å få x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 4 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}+6x^{3}+13x^{2}+12x+4 på x+1 for å få x^{3}+5x^{2}+8x+4. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{3}+5x^{2}+8x+4=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 4 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±4,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-1$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}+5x^{2}+8x+4 på x+1 for å få x^{2}+4x+4. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{2}+4x+4=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 4 med b, og 4 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-4±0}{2}$$

Løsninger er de samme.

$$x=-2$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket på nytt ved hjelp av de hentede røttene.

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2}\left(x+2\right)^{2}$$

Evaluer

$$\left(x-1\right)\left(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\right)^{2}$$