Løs x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

Løs for x

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 84 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 på x-2 for å få x^{3}-2x^{2}-29x-42. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -42 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}-2x^{2}-29x-42 på x+2 for å få x^{2}-4x-21. Løs formelen der resultatet er lik 0.

$$x^{2}-4x-21=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -4 med b, og -21 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{4±10}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-4x-21=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-3 x=7$$

Vis alle løsninger som er funnet.

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$