Løs x^4+6x^3-5x^2-42x+40

$$x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } - 5 x ^ { 2 } - 42 x + 40$$

Faktoriser

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 40 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. En slik rot er -5. Du skal beregne polynomet ved å dele den med x+5.

$$\left(x+5\right)\left(x^{3}+x^{2}-10x+8\right)$$

Vurder x^{3}+x^{2}-10x+8. Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 8 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. En slik rot er -4. Du skal beregne polynomet ved å dele den med x+4.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}-3x+2\right)$$

Vurder x^{2}-3x+2. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som x^{2}+ax+bx+2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=1\times 2=2$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-2 b=-1$$

Skriv om x^{2}-3x+2 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-x+2\right)$$

Faktor ut x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$

Evaluer

$$\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)$$